---
note_type: source
state: seed
created: 2026-10-08
aliases:
  - 沪教版教参必修第三册·第11章
tags:
  - 数学/教参
  - 数学/沪教版
topics:
  - 上海高考数学
  - 教参
source: 沪教版教参必修第三册.md（原文件第 1114–1611 行）
---

# 第 11 章 简单几何体

> 拆分自 [[沪教版教参必修第三册]] · **第 11 章 简单几何体**（原文件第 1114–1611 行）。
> 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。


## 一、本章概述

### 总体要求

几何体是由空间点、线、面组成的, 由若干平面或曲面所围成的空间图形. 通过本章的学习, 可以帮助学生进一步理解空间点、线、面的各种位置关系; 通过空间图形的平面直观图认识一些简单几何体的概念、特征及其体积与表面积的计算; 能够运用简单几何体的基本性质与度量关系解决数学问题与实际问题; 通过直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等, 建立空间观念, 发展数学核心素养.

与立体几何初步的第 10 章“空间直线与平面”一样, 本章的教学难点和重点仍然是发展学生的几何直观、空间想象, 及其相关的逻辑推理能力. 教学时应遵循从具体到抽象的原则, 提供丰富的实物、模型或利用计算机软件呈现空间几何体, 帮助学生建立空间图形与平面直观图之间的直觉联系, 直观理解空间几何体的结构特征, 进一步掌握运用平面直观图表示、处理、分析空间图形的方法和技能; 要注意培养学生的看图、画图、构图能力, 并根据需要进行实物、模型、图形、符号、文字之间的表征转换.

简单几何体在现实生活中有大量的应用, 从建筑物的空间结构, 到表面积、体积的计算；从 $3\mathrm{D}$ 打印,到艺术设计,立体几何可以为学生的数学探究与跨学科实践活动提供丰富的素材. 教师可以指导和帮助学生选择一些立体几何问题作为数学探究活动的课题, 组织学生收集、阅读几何学发展的历史资料, 结合内容撰写报告, 论述几何学发展过程中的重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明作出的贡献.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 9+1,共计 10 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="3">11.1 柱体</td><td rowspan="3">3</td><td>棱柱与圆柱 1 课时</td></tr><tr><td>柱体的体积 1 课时</td></tr><tr><td>柱体的表面积 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">11.2 锥体</td><td rowspan="3">3</td><td>棱锥与圆锥 1 课时</td></tr><tr><td>锥体的体积 1 课时</td></tr><tr><td>锥体的表面积 1 课时</td></tr><tr><td>11.3 多面体与旋转体</td><td>1</td><td/></tr><tr><td rowspan="2">11.4 球</td><td rowspan="2">2</td><td>球 1 课时</td></tr><tr><td>球的体积和表面积 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

在立体几何的整体结构上,本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序:先学习空间点、线、面的基本位置关系 (第 10 章), 再学习本章的简单几何体. 这样编排的意图: 一是通过第 10 章的学习, 为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础; 二是利用简单几何体模型, 帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系.

在本章内容的编排上, 本教材与 “二期课改” 教材有以下两点不同: (1) 本教材突出了柱体与锥体的核心地位, 先系统学习柱体与锥体的概念与基本性质, 再给出一般多面体和旋转体的概念, 这样做符合从具体到一般的心理规律. (2) “二期课改”教材先讲各种几何体的概念与基本性质, 再讲一些特殊几何体的表面积, 最后讨论体积; 本教材则按照柱体、锥体、球进行分类, 每一类几何体从概念、性质, 到体积, 再到表面积, 相对独立, 一气呵成. 应该讲, 这两种处理顺序各有优点, 本教材关注了各类几何体在体积、表面积计算方法上的统一性, 突出了本章在体积与表面积度量计算上的特点与要求.

为了减轻学生的负担,本教材不单独研究台体,而是把台体看成是用与锥体的底面平行的截面截去一个小锥体后所得的几何体, 这为处理台体问题提供了一条思路, 即转化为锥体的问题. 台体的概念及其体积计算公式是通过例题引入的, 这意味着只要求对台体本身作一些简单的讨论即可. 不要求用台体的体积公式去解决其他的问题.

本章分为四节, 分别是 11.1 柱体, 11.2 锥体, 11.3 多面体与旋转体, 11.4 球.

“11.1 柱体”沿着先讲棱柱、圆柱的概念,后讲其体积,再讲其表面积的线索展开, 其中的体积公式是根据等积变换的祖暅原理得到的, 其体积为底面积乘高; 柱体表面积是侧面积加上、下底面的面积.

与全国其他一些版本的教材不同, 本套教材是在学习了空间点、直线与平面的位置关系之后学习简单多面体, 这样就可以精确地描述空间几何体的概念及其元素之间的位置关系. 例如, 在小学与初中阶段, 学生虽然也学习过简单的柱体及其体积公式, 但当时属于直观的认识, 其中的一些概念如“柱体的高”并没有给出明确的定义, 因为这涉及点到平面之间的距离和两个平行平面之间的距离. 因此, 本章对简单多面体的认识不只是直观的描述, 而是严格的定义.

与“二期课改”教材在柱体与锥体的引入部分没有安排例题不同, 本教材在柱体与锥体的概念之后, 都安排了两道针对性的例题. 例如, 本节安排的两道例题中, 例 1 是斜三棱柱, 其教学目的至少有以下几个: 一是在讨论空间关系的基础上熟悉柱体的相关概念; 二是认识一种小学与初中阶段不熟悉的柱体, 即斜棱柱; 三是利用简单几何体讨论空间的点、直线、平面的位置关系. 例 2 讨论的是圆柱的性质, 其目的一方面便于学生与棱柱进行对照, 另一方面使学生进一步熟悉空间几何推理与证明的过程.

在柱体的概念之后,本教材在长方体体积的基础上,利用祖暅原理推出了一般柱体的体积公式. 这里把棱柱与圆柱放在一起讨论的优点是突出了柱体体积公式的统一性, 同时也提示学生, 可以把圆柱看作是棱柱的一种特殊(极端)情形.

关于柱体的表面积, 本教材只是给出了直棱柱与圆柱的公式, 对一般棱柱的表面积没有提出要求.

"11.2 锥体"也是沿着先讲棱锥、圆锥的概念, 后根据祖暅原理证明锥体体积公式, 再得出锥体的表面积公式. 从逻辑上看, 本节的编排与前一节相同, 在进行类别区分的同时可以突出柱体与锥体的不同特点.

本教材中, 台体的概念是在一道例题之后引入的, 这意味着台体在课程中的地位与柱体和锥体不同, 不要求记忆台体的体积公式和表面积公式, 仅作为例题和习题, 能够推导出其体积公式和表面积公式即可.

关于锥体体积公式的推导, 教材作为探究与实践的内容, 其中运用了祖暅原理与化归的思想, 但由于对学生的空间想象能力要求较高, 所以仅供有余力的学生学习.

"11.3 多面体和旋转体"是对前两节提出的柱体和锥体的总结和概括. 在多面体部分,教材重点介绍了五种正多面体,但对其导出过程不作要求；在旋转体部分,教材将圆柱、圆锥与圆台统一为平面图形(矩形、直角三角形、直角梯形) 沿一边所在的直线 (矩形一边、一条直角边、垂直于底边的腰) 旋转一周得到的几何体. 一方面可以使学生初步见识三维空间中的“直曲面”,另一方面也为选择性必修中的圆锥截线作铺垫.

在教材的“课后阅读”中介绍了多面体的欧拉定理. 欧拉定理具有重要的文化内涵, 在数学上的意义也非常丰富. 可以根据学生的实际情况介绍一些拓扑变换的思想, 作为拓展的学习内容.

“11.4 球”同样是先讲概念, 再讲球的体积公式和表面积公式. 球的体积公式是可以通过祖暅原理证明的, 但球的表面积公式只从极限的概念给出直观的解释, 不要求给出严格的证明.

在球的概念之后, 教材讨论了球被一个平面所截得到的截面的情形, 并通过一道例题引入了地球经线和纬线的概念. 这两个概念一方面属于常识, 另一方面也便于和地理的学习建立跨学科的联系. 与“二期课改”教材不同的是,本教材不再对球面距离提出要求.

教材编写基于数学学习的认知理论, 依据数学知识的发生、发展过程, 遵循学生学习的规律和特点, 和以往教材在编写的体例上有许多不同的地方. 例如, 以往是先讲多面体再讲旋转体, 本教材则是从柱体到锥体, 从简单到复杂, 从特殊到一般; 以往的教材通常是先讲表面积再讲体积, 本教材是先讲体积后讲表面积, 这不仅因为体积是三维空间图形的本质属性, 而且因为表面积的求解是通过空间图形到平面图形的转化得到的, 是在对简单几何体整体认识基础上的度量计算. 这样形成的四节内容, 在认识层次上是通过类比和归类, 层层递进的. 其意图是为了发展学生的空间观念, 培养学生的逻辑演绎能力, 培养学生将平面几何的知识向空间拓展的能力和将空间几何的问题转化到平面上解决的能力, 进一步发展直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

### 教学提示

本章的研究对象是由多面体和旋转体组成的简单的几何体; 研究的内容是柱体、 锥体 (含台体)、球的体积和表面积. 应通过简单几何体的教具模型、动态几何软件中的三视图等, 帮助学生建立空间图形与平面直观图之间的感性经验, 学会从三维空间的视角观察、思考问题, 表达问题. 由于空间图形的平面直观图的画法已经前置到第 10 章, 这里可以根据学生的掌握情况进行适当的复习与练习.

要引导学生借助几何直观和空间想象,从具体事物的背景中抽象和提炼出柱、 锥、台、球, 从简单几何体的形成中发现一般的规律和结构, 并运用公式进行演绎推理和运算. 在教学上采用“抽象模型、求作图形、求解表述、演绎证明”的模式,提高几何直观和空间想象能力,提升学生的数学核心素养.

空间点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容, 也是培养空间观念与空间想象能力的重要途径. 因此,教学时应把简单几何体作为载体,适当地复习与讨论第 10 章中的相关知识与问题.

除了讨论简单几何体的基本性质外, 本章的主要问题是体积与表面积的计算. 在解决这类计算题时, 不能只是列出公式, 还应该进行必要的推理, 如证明某条线段是给定棱柱的高等, 使学生进一步发展空间想象能力与逻辑推理能力.

现实生活中有许多问题涉及体积与表面积的计算,可以适当补充一些关于柱体、 锥体和球及其简单组合体与体积面积相关的应用题, 甚至建模问题.

### 评价建议

本章所学习的简单几何体, 学生在小学与初中阶段大多已经见识过, 但当时只是直观地认识. 因此, 本章要求学生能够根据空间点、线、面的位置关系, 运用第 10 章所学的知识对简单几何体进行重新认识, 能够对简单几何体的基本性质进行逻辑推理.

在第 10 章中, 主要借助长方体和正方体模型来讨论空间中直线与平面的位置关系, 通过本章的学习, 可以把更多的简单几何体作为理解空间位置关系的具体模型.

简单几何体在现实生活中一般都可以找到具体的模型, 要求学生能够通过平面直观图理解空间图形及其实际情境, 掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征, 解决简单的实际问题. 在解决实际问题中, 还可以适当地联系其他数学领域的知识与方法.

本章的考查重点仍然是空间观念、空间想象能力和逻辑推理能力. 要求学生能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果; 能够证明简单的几何体中涉及的平行或垂直的关系; 通过探究, 推出体积和表面积公式, 发现不同公式之间的逻辑联系; 并能运用空间观念、空间想象和逻辑推理解决问题.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 11.1 柱体

### 教学重点

本节的教学重点是棱柱和圆柱的概念, 祖暅原理, 棱柱和圆柱的体积公式, 棱柱和圆柱的表面积公式. 通过研究柱体的基本性质, 进一步掌握空间点、线、面之间的位置关系, 培养学生的直观想象和逻辑推理能力.

### 内容分析

先讲棱柱的概念, 前前后后涉及 12 个概念, 从点、线、面、体的角度理出逻辑线索. 为了讲清棱柱的概念, 先定义多面体, 再定义多面体的面、棱和顶点, 然后定义棱柱, 理出底面、侧面、侧棱、高的概念, 并对棱柱的种类作出分类. 为了帮助学生理解棱柱的概念, 教材特别给出了三种“非标准”的棱柱图形, 其中一种是斜三棱柱, 一种是底面为一般四边形的四棱柱, 一种是非 “竖直” 放立的六棱柱, 这三种图形有一定的代表性, 可以让学生通过观察不同摆放位置的棱柱模型, 多角度地理解概念.

例 1 举了一个斜三棱柱的例子. 第一小问求棱柱的高, 这里根据 “高”的定义, 需要把两个底面之间的距离转化为某个底面上的一点到另一个底面的距离, 然后利用直角三角形求解, 有一定的典型性; 其他两小问是证明题, 目的是在斜三棱柱的背景下讨论空间的线面关系. 解题过程突出了立体几何中的典型求解步骤: 一求作、二推理、三求解.

在介绍圆柱的概念时, 一方面可以采用类比的方法, 与棱柱进行对比, 归纳柱体的一般特点与共同性质, 一方面要突出圆柱作为旋转体的特征, 如有一条“轴”, 圆柱也可以看作是由 “轴截面” 旋转而成的几何体.

例 2 讨论了圆柱的两种主要截面及其性质, 可以让学生先直观地给出解释, 再用语言进行严格的证明. 在讲解此例时, 可以让学生对比棱柱的情形, 从而发现第一小问的结论是圆柱的特征, 而第二小问的结论则对所有的柱体都成立, 因此, 这是柱体的一条基本特征.

在已知长方体体积公式的基础上, 教材运用祖暅原理推导一般柱体的体积. 关于祖暅原理的学习,教材采用的是直观理解的方式,通过盛水容器与书本堆砌直观地渗透积分的思想. 教学时还可以用矩形与平行四边形的面积关系进行类比. 在引入祖暅原理之后, 应该以教材的边框为线索鼓励学生搜索祖冲之父子在中国古代数学研究中的贡献, 弘扬中国的传统文化.

例 3 沿用例 1 的斜三棱柱, 其主要目的是介绍柱体体积公式的运用. 柱体体积的计算主要是求点到平面的距离及平面图形的面积, 除了安排一些简单的实际应用题外, 教学的重点仍然是空间的点、线、面的位置关系, 目的是培养学生的直观想象与逻辑推理.

多面体的表面积本质上是求平面图形的面积, 教材只对直棱柱与圆柱的情况给出了求表面积的公式, 这两种柱体表面都可以展开成平面图形. 由此可以生成一些将平面图形“折叠”成空间图形的问题,或者通过平面展开图求空间图形表面最短路径的问题.

### 注意事项

棱柱与圆柱虽然同为柱体, 其体积公式本质上相同, 但两者的内涵是有差异的, 要注意两者的共同点与差别. 特别是, 棱柱可以是 “斜” 的, 而圆柱只讨论 “直” 的情况. 另外, 圆柱是学生所认识的第一个可以用直线段构造曲面的情况, 可以简单说明数学中“曲”与“直”的辩证关系.

除了长方体与正方体外, 学生对一般柱体的平面直观图并不熟悉. 如果有必要, 可以在这里适当补充或者复习直观图的斜二测画法. 同时, 应该让学生见识一些不同位置的柱体的直观图, 如把一般柱体 “水平放置”或 “倒放”. 需要注意的是, 实景图或照片中的几何体采用的是透视图的画法, 与斜二测的平行投影是有差别的.

与“二期课改”教材不同的是,本套教材在对四棱柱的分类中没有提出平行六面体的概念, 但平行六面体作为一种简单柱体, 并不影响教师介绍平行六面体的图形及讨论简单的性质. 祖暅原理是通过“实验”的方法直观引入的. 在教学中, 要从平面到空间, 从数学史的角度, 从数学实证的角度, 让学生知晓和掌握祖暅原理.

根据学生的实际情况, 可以适当补充一些简单几何体表面上的最短路径和截面问题, 作为数学探究的内容. 如国家课程标准附录中的“案例 27 包装彩绳”“案例 31 圆柱体截面问题”. 这些问题是沟通平面与空间、培养学生直观想象与空间推理能力的良好素材. 但要注意的是,这类问题一般都有一定的难度,应当适可而止.

### 教学建议

本节是立体几何中研究简单几何体的入门课, 应该帮助学生初步形成一般的研究思路, 其中包括空间形式与数量关系两个方面. 在空间形式上, 通过对实物情景、立体模型的观察, 抽象出简单几何体的概念, 再借助平面直观图讨论其基本性质; 在数量关系上, 主要是求简单几何体的体积与表面积, 其本质是距离的度量, 可用于解决现实生活中的一些简单的测量问题.

虽然空间图形在现实生活中随处可见, 但要在学生头脑中形成空间几何体的表象需要一定的训练. 教学中可以经常性地利用一些多角度展示柱体模型或动态几何软件, 也可以让学生自己动手将平面展开图折叠成空间图形. 使学生不断积累处理空间表象的经验, 发展空间想象能力.

祖暅原理是中国古代数学的辉煌成果, 利用祖暅原理证明探究体积公式, 也是这一章的亮点. 教学中应该充分利用祖暅原理的文化价值,培养学生的爱国主义情怀.

#### 11.2 锥体

### 教学重点

理解锥体的概念及其基本性质, 掌握锥体的体积和表面积公式并能够运用这些公式解决相关的实际问题.

了解锥体与柱体之间的区别与联系, 进一步积累研究空间几何体的一般思路.

以锥体为背景研究空间点、线、面的位置关系, 进一步发展空间观念、直观想象与逻辑推理的素养.

### 内容分析

锥体的概念可以通过与柱体的概念类比得到, 其研究的思路也类似. 此外, 还可以把棱锥与平面几何中的三角形进行联系与类比. 首先, 棱锥的侧面都是三角形, 计算棱锥的体积与表面积时常用到三角形的相关知识. 其次, 三角形是平面几何中的基本图形, 一般的平面多边形都可以分割为若干个三角形, 同样, 一般的多面体也都可以分割为若干个棱锥; 三角形的一些性质 (如中位线性质) 也可以类比地推广到棱锥的情形.

本章的难点是锥体体积公式的推导, 即锥体体积是等底等高的柱体体积的三分之一. “二期课改”教材给出了完整的推导过程:先是用祖暅原理证明“等底同高的三棱锥体积相等”, 然后将一个三棱锥补成一个同底等高的三棱柱得到三棱锥的体积公式, 再通过将一般的棱锥分割为若干个三棱锥的方法得出一般棱锥的体积公式. 这一过程不仅体现了数学的化归思想, 建立了棱锥与棱柱的联系, 而且突出了三棱锥的重要地位以及求三棱锥体积的灵活性. 但由于对学生的空间想象能力要求较高, 把其作为 “探索与实践”的内容, 供学有余力的学生学习.

锥体这一节,教材共安排了七道例题,其意图是:

例 1 讨论的是正三棱锥的一个性质, 如图 11-R1, 即如果平面的一条斜线 ${PC}$ 与平面上过斜足 $C$ 的两条相交直线 ${AC}$ 与 ${BC}$ 所成的角相等,那么斜线段在此平面上的射影在 $\angle {ACB}$ 的平分线 (或补角的平分线) 上. 这一结论虽然不能作为定理使用, 但在运用三垂线定理、求棱锥体积时可以提供解题的思路.

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_60_1179_1209_255_309_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_60_1179_1209_255_309_0.jpg)

图 11-R1

例 2 提供了一个处理圆锥问题的一般方法, 即利用圆锥的轴截面, 从而转化为平面几何的问题, 因为圆锥本质上可以由轴截面确定. 通过轴截面, 此题就可以转化为三角形的平行分割问题, 其特殊情形就是三角形的中位线.

例 3 是正方体中构造的三棱锥体积的定值问题. 此题的依据是两条直线平行、直线与平面平行时点线距离、点面距离的不变性, 利用这种不变性, 常常可以灵活地计算三棱锥的体积.

例 4 是利用三棱锥的等积变换求点到平面的距离. 这种方法类似于平面几何中的面积法, 由于四面体的体积可以通过多种方法来计算, 因此可以建立某种相等关系, 然后利用方程的思想解决问题.

例 5 实质是推导台体的体积公式. 教材没有给出图示, 因此, 教师可以根据班级实际情况灵活处理. 如果想降低推理过程的难度, 可以考查圆锥的情形, 并与上述的例 2 联系, 在得出结果后再考虑推理的一般性. 此例可以启发学生把圆柱与圆锥看作是圆台的特殊情形.

例 6 是求正三棱锥的表面积. 此例给出了求正棱锥表面积的一般方法, 实质是求底面正多边形的边长与侧面等腰三角形上的斜高, 其中通常需要处理空间点、线、面的位置关系.

例 7 是求圆锥侧面上的最短距离问题, 其思路是将侧面展开为平面图形, 转化为求平面上两点距离的问题.

练习 11.2(3)的第 3 题推导正棱台的侧面积公式, 是一道开放性习题, 可以推导正三棱台、正四棱台或一般的正 $n$ 棱台的表面积, 已知条件也是不确定的, 可以自行给出. 若给出的是上、下底面的周长 ${c}_{1}\text{、}{c}_{2}$ 和斜高 ${h}^{\prime }$ ,则侧面积公式为 $S = \frac{{c}_{1} + {c}_{2}}{2}{h}^{\prime }$ .

### 注意事项

与棱柱不同的是, 我们这里区分了一般的棱锥与正棱锥. 棱锥的体积公式对一般的棱锥都成立, 但表面积公式只是针对正棱锥的. 由于棱锥的表面积的计算实际上是平面多边形的面积的计算, 因此即使没有一般的公式, 也可以解决一些非正棱锥的简单多面体的表面积问题.

在讲了锥体的体积和表面积之后,“二期课改”教材是不讲台体的. 国家课程标准要求讲台体的概念、体积和表面积. 我们没有单独讲解台体,而是从锥体的角度,把台体看成是用平行于锥体底面的截面截得的两个几何体, 去掉小的那个锥体, 余下的那个几何体即为台体, 这样台体的体积就可以用原来的锥体体积减去小的锥体体积得到. 其公式为本节例 5 , 我们仅作为例题, 不作为学生强行识记的公式. 其侧面积安排在练习 11.2(3) 的第 3 题, 其表面积只需在侧面积的基础上加上上、下底面的面积即可. 这样的处理, 减轻了学生的记忆负担, 使得知识的“生成”性更强.

四面体是一种特殊的棱锥, 也是一般多面体的基本图形, 其作用可类比平面几何中的三角形. 就像三角形一样, 计算四面体的体积时可以把任意一个面看作是“底面”. 在解决具体问题时, 有一定的灵活性.

在求棱锥的体积时, 容易出现的困难主要是求棱锥的高. 由于点到平面的距离可以转化为直线到平行平面的距离以及两个平行平面之间的距离, 有一定的技巧, 一定要控制好难度. 对于比较困难的问题, 可以放到选择性必修的内容学习之后, 利用空间向量求高.

### 教学建议

证明锥体的体积是等底等高的柱体体积的三分之一, 教材是作为探究与实践的内容展开的, 不能只讲结论, 重在探究与思考, 可以通过数学猜想或通过实验验证, 得出结论, 再用补体或割体的方法进行证明, 通过等积变换得到锥体的体积公式.

锥体体积是等底等高的柱体体积的三分之一, 既是教材的难点, 也是教材的亮点. 这部分教学不能匆匆得出结论, 重在探索研究, 可以把这部分内容作为探究实践的内容实施教学.

#### 11.3 多面体与旋转体

### 教学重点

本节是在柱体和锥体的基础上给出一般多面体和旋转体的概念, 使得相关的知识系统化, 也便于以后在需要时进行拓展. 这一节以了解为主, 目的是拓展学生的视野.

### 内容分析

在多面体的概念中, 特别提出正多面体的概念, 正多面体满足两个条件: 一是这个多面体的所有面都是全等的正多边形; 二是每个顶点聚集的棱的条数相等. 利用 “课后阅读”中的欧拉定理, 可以验证只有五种正多面体, 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.

旋转体是一种在现实生活中常见的几何体, 其构造过程虽然简单, 但所形成的形状却十分丰富,在制造、设计中有广泛的应用,在自然现象中也随处可见. 本节没有安排例题, 其目的除了可以利用圆柱或圆锥的体积公式计算一些复合型的旋转体的体积外, 主要是让学生见识各种旋转体, 欣赏数学的美.

### 注意事项

在无穷多个多面体中只有五种正多面体, 这是一个令人惊奇的结论. 教材中是让学生从多面体的欧拉定理出发, 让学生分析多面体的顶点数、棱数、面数以及每面的边数和每顶点聚集的棱数而得出这个结论. 事实上, 如果仅求正多面体的每面的边数 $n$ 和每个顶点聚集的棱数 $m$ ( $m\text{、}n$ 都是不小于 3 的正整数) 的关系,下面的推导过程是非常简单的: 注意到每个正 $n$ 边形的内角大小是 $\frac{\left( {n - 2}\right) \pi }{n}$ ,聚集在一个顶点上的这样的内角一共有 $m$ 个,而这些角的大小之和小于 ${2\pi }$ (否则所有这些角在一个平面内), 于是 $m \cdot  \frac{\left( {n - 2}\right) \pi }{n} < {2\pi }$ ,得 $m\left( {n - 2}\right)  < {2n}$ ,即 $\left( {m - 2}\right) \left( {n - 2}\right)  < 4$ ,于是 $\left( {m, n}\right)  = \; \left( {3,3}\right) ,\left( {4,3}\right) ,\left( {3,4}\right) ,\left( {5,3}\right) ,\left( {3,5}\right) .$

这实际上推出了教材表 11-1 的后两列数据. 依据已有的正多边形的例子, 可以把表 11-1 的数据补充完整. 必须注意的是, 这并没有证明只有这五种正多面体. 为了证明只有五种正多面体, 必须证明对这里得到的每一数组, 只有一种正多面体满足要求. 这不得不借助于欧拉定理了.

欧拉定理在本教材中只作为“课后阅读”出现. 定理的结论非常简洁, 但其证明是拓扑学的, 思路与欧式几何完全不同. 教材没有给出证明过程, 但提示了一些拓扑学的思想(例如 “简单多面体” 是在拓扑学意义下的概念),教师可以向学生作简单介绍, 以拓宽学生的视野.

### 教学建议

我们前面两节研究的是简单多面体, 非简单多面体教材在介绍欧拉定理时举了一个中间有一个长方体空洞的十六面体的例子. 对于旋转体, 除了前面学习的圆柱、圆锥和圆台, 又拓展为一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形, 其表面称为旋转面, 如一个圆绕同一平面内与它不相交的一条直线旋转而成的轮胎面.

本节虽然没有安排例题, 但练习 11.3 中的三道题目都有一定的难度并可以作进一步拓展, 教师可以根据学生的实际水平组织讨论.

本节可以拓展的内容较多, 应视学生的实际情况量力而行. 例如, 可以根据各种花瓶的形状介绍一些复合旋转体; 可以按照欧拉定理对几何体进行分类; 可以展示像莫比乌斯带、克莱因瓶那样的单面曲面; 也可以欣赏各种几何体在建筑、雕塑等艺术作品中的应用.

#### 11.4 球

### 教学重点

理解球的概念及其基本性质, 会用球的体积公式和表面积公式解决简单的度量问题.

### 内容分析

教材采用的仍然是和柱体、锥体同样的研究思路, 即先介绍球的概念及其基本性质, 再讨论球的体积与表面积.

球的概念是在一般旋转体概念的基础上引入的, 即把球看作是由一个半圆面绕其直径旋转而成的几何体. 按照这样的定义, 从理论上讲, 球面上任意一点到球心等距的性质是需要证明的, 在教学中可以给出直观的解释.

在给出球的定义后, 教材讨论了球面的一个基本性质, 即球面和一个平面相交时, 得到的交线是一个圆; 当平面经过球心时, 得到的是球的大圆; 否则, 得到的是球的一个小圆, 此时小圆的圆心与球心所在的直线与给定平面垂直. 关于这一性质的证明, 教材依据的是勾股定理, 也可以从旋转体的形成给出直观的解释.

球的体积公式的推导用的是祖暅原理,难在构造一个和半球体积相等的几何体. 教材的思路是由半球的平行于底面的截面面积公式, 联想到圆环的面积, 再进一步构造一个高为半径的圆柱挖去一个同高、同底的倒圆锥的几何体. 球的表面积公式用的是直观解释, 其中蕴含了极限的思路, 不作严格的证明.

例 1 是求给定球被一个平面所截得到的小圆的半径, 这是球面的基本性质. 教材中之所以画出完整的图形, 是帮助学生理解球与平面的位置关系, 教学时可以辅之以主截面的图形. 此题可以为用祖暅原理推导球体积公式提供启示.

例 2 实际上是地球经纬度定义的数学解释. 解题过程虽然不难, 只是运用了二面角及斜线与平面所成角的定义, 但图形比较复杂. 教学时, 可以根据所要解决的问题分解为几个图形.

例 3 是球体积公式的应用.

例 4 讨论的是球与其外切圆柱的面积关系. 其推理过程比较简单, 可以根据学生的实际情况作一些简单的拓展. 例如, 讨论球面与圆柱侧面的交线形状 (球的大圆); 经过圆柱旋转轴的平面与圆柱及球的交线的关系(正方形与其内切圆的关系) 等. 这些问题与后继解析几何内容有关, 可以直观地探讨.

### 注意事项

“二期课改”教材有球面距离的内容, 本教材降低了要求, 对球面距离公式不作要求, 但作为一种常识, 可以让学生有所了解. 练习 11.4(1) 第 3 题中所求的是同一条经线和同一条纬线上两点的(地面)距离问题, 其中涉及了地球经纬度的定义, 二面角及线面所成角的计算. 在此基础上, 可以拓展为求地球上两点之间所在大圆的劣弧长度.

球面具有丰富的对称性, 但研究三维空间图形的对称性需要较高的空间想象能力, 因此不宜作为对学生的要求. 可以在直观的层面上讨论一些简单的性质, 如球的任意一条直径都可以作为旋转轴, 每个大圆都把球分成相同的两半等.

球的体积公式的推导用的是构造法, 球面面积公式的推导用的是极限思想, 都有一定的难度, 让学生大致了解即可, 不要求所有学生都掌握.

### 教学建议

球这部分的习题很多是实际问题, 如地球和钢球等, 在球的例题中, 也注重了球与其他几何体的关联. 在逻辑推理、数学建模以及数学运算上要求较高.

在讲解地球的经纬度概念时, 可以借助地球仪, 并与地理学科的相关内容建立跨学科的联系.

#### 三、参考答案或提示

##### 11.1 柱体

练习 11.1(1)

1. 因为每一个侧面的侧棱都平行, 又因为上、下底面平行, 这个侧面与上、下底面的交线, 即上、下底面对应的多边形的棱分别平行, 所以侧面是平行四边形.

2. 由于截面与上、下底面平行, 得到两个新的几何体, 其中一个新的几何体的侧棱平行, 上、下底面多边形的一边和截面对应的一边平行, 就可以证明截面和上、下底面多边形的对应边平行且相等, 从而得证.

3. 水平放置的圆柱水面是圆面, 放倒的圆柱水面是矩形面. 图略.

练习 11.1(2)

1. $V = {S}_{\text{底 }}h = \frac{2 + 4}{2} \times  {1000} = {3000}\left( {\mathrm{\;m}}^{3}\right)$ .

2. $V = \pi {r}^{2}h = {250\pi }\left( {\mathrm{{dm}}}^{3}\right)  = {250\pi }\left( \mathrm{L}\right)  \approx  {785}\left( \mathrm{\;L}\right)$ .

3. 设内孔半径为 $r$ ,六边形的边长为 $a$ ,螺母高为 $h$ ,

$V = \left( {6 \times  \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2} - \pi {r}^{2}}\right) h = \left( {\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2} - \pi {r}^{2}}\right) h.$

练习 $\mathbf{{11.1}\left( 3\right) }$

1. $V = {3}^{2}\pi  \times  {25} + 6 \times  \frac{\sqrt{3}}{4} \times  {12}^{2} \times  5 \approx  {2577.1}\left( {\mathrm{\;{cm}}}^{3}\right)$ .

$S = 2 \times  {3\pi } \times  {25} + 6 \times  {12} \times  5 + 2 \times  6 \times  \frac{\sqrt{3}}{4} \times  {12}^{2} \approx  {1579.5}\left( {\mathrm{\;{cm}}}^{2}\right) .$

2. $S = {2\pi }\left\lbrack  {\left( {{0.05} + {0.04}}\right)  + \left( {{0.05}^{2} - {0.04}^{2}}\right) }\right\rbrack   \times  1 \times  {10}^{4} \times  {0.11} \approx  {628.26}\left( \mathrm{\;{kg}}\right)$ .

3. 若 $a > 0, b > 0, c > 0$ ,则 $\left( {a + b}\right)  + \left( {c + \sqrt[3]{abc}}\right)  \geq  2\sqrt{ab} + 2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq  4\sqrt[3]{abc}$ , 即 $a + b + c \geq  3\sqrt[3]{abc}$ ,且当且仅当 $a = b = c$ 时取等号. 设长方体的长、宽、高分别为 $a\text{、}b\text{、}c$ ,则 $S = 2\left( {{ab} + {bc} + {ca}}\right)  \geq  3\sqrt[3]{{2ab} \cdot  {2bc} \cdot  {2ca}} = 6{V}^{\frac{2}{3}}, V \leq  {\left( \frac{S}{6}\right) }^{\frac{3}{2}}$ ,当且仅当 $a \; = b = c$ 时,即长方体为正方体时体积最大.

习题 11.1

A 组

1. ${2\pi }$ .

2. ${4\pi }$ .

3. ${24}\sqrt{3}$ .

4. ${12}{a}^{2}$ .

5.40.

6. $\arctan \sqrt{5}$ .

7. $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

8. 设底面三边长分别为 $a\text{、}b\text{、}c$ ,高为 $h$ ,由 $\left\{  \begin{array}{l} a + b > c, \\  b + c > a, \\  a + c > b, \end{array}\right.$ 得 $\left\{  \begin{array}{l} {ah} + {bh} > {ch}, \\  {bh} + {ch} > {ah}, \\  {ah} + {ch} > {bh}, \end{array}\right.$ 得证.

### B 组

1. $v = {l}^{3}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ .

2. 三棱柱的体积为 9.

3. 设 $\bigtriangleup {ABC}$ 的面积为 $m$ ,则由 $\frac{3m}{4} \times  8 = {mh}$ ,得 $h = 6$ .

#### 11.2 锥体

### 练习 11.2(1)

1. 小棱锥与大棱锥的底面面积之比为 ${h}_{1}^{2} : {h}_{2}^{2}$ .

2.(1)以母线为两腰的等腰三角形. 当轴截面顶角小于等于 ${90}^{ \circ  }$ 时,截面为轴截面时面积最大; 当轴截面顶角大于 ${90}^{ \circ  }$ 时,并非截面为轴截面时面积最大,而是顶角为 ${90}^{ \circ  }$ 的等腰三角形面积最大.

3. 如果给出的几何体不是四棱台, 就得不到一个棱锥.

练习 11.2(2)

1. ${V}_{P - {ABCD}} = \frac{1}{3} \times  {6}^{2} \times  8 = {96}$ .

2. ${V}_{B - {A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }} = \frac{1}{3}{V}_{{ABC} - {A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }} = \frac{1}{3} \times  \frac{1}{2} \times  5 \times  7 \times  \frac{\sqrt{3}}{2} \times  9 = \frac{{105}\sqrt{3}}{4}$ .

3. 由例 5 的结果直接得到.

练习 11.2(3)

1. 侧面积为 ${3\pi }$ ,表面积为 ${4\pi }$ .

2. $\sqrt{3}$ .

3. 记正棱台的上底面周长为 ${c}_{1}$ ,下底面周长为 ${c}_{2}$ ,斜高为 ${h}^{\prime }$ ,则侧面积公式为 $\frac{{c}_{1} + {c}_{2}}{2}{h}^{\prime }.$

习题 11.2

A 组

1. 9.

2. (1) $\frac{12}{5}$ . (2) 32.

3. $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

4. 证明略.

5. ${3\pi }$ .

6. $\frac{40}{3}\mathrm{\;{cm}}$ .

7. $6\sqrt{2}$ .

8. $\frac{\sqrt{2{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}}{3}$ .

B 组

1. $\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{12}$ .

2. $2 : 1$ .

3. ${60}\sqrt{3}$ .

4. 如图 11-R2,设 $x$ 是截去的小圆锥的母线长,则 ${S}_{\text{圆台侧 }} = \; \frac{1}{2}c\left( {l + x}\right)  - \frac{1}{2}{c}^{\prime }x = \frac{1}{2}{cl} + \frac{1}{2}\left( {c - {c}^{\prime }}\right) x$ . 因为 $\frac{{c}^{\prime }}{c} = \frac{x}{x + l}$ ,所以 $x = \; \frac{{c}^{\prime }l}{c - {c}^{\prime }}$ . 代入,得 ${S}_{\text{圆台侧 }} = \frac{1}{2}{cl} + \frac{1}{2}{c}^{\prime }l = \frac{1}{2}\left( {{c}^{\prime } + c}\right) l = \pi \left( {{r}^{\prime } + r}\right) l$ .

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_68_1180_896_238_254_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_68_1180_896_238_254_0.jpg)

图 11-R2

#### 11.3 多面体与旋转体

### 练习 11.3

1. 如图 11-R3, 先作一个底面为直角三角形的直棱柱 (《九章算术》中称为 “堑堵”) ${AEF} - {BDC}$ ,其中 $\angle {BCD}$ 是直角. 用平面 ${ACD}$ 截此直三棱柱,则几何体 $A - {BCD}$ 就是满足要求的“鳖臑”,这是因为 ${AB} \bot$ 平面 ${BCD}$ ,所以 $\bigtriangleup  {ABD}$ 、 $\bigtriangleup  {ABC}$ 是直角三角形；又已知 $\angle {BCD}$ 为直角,所以 $\bigtriangleup  {BCD}$ 是直角三角形；最后,由 ${CD} \bot$ 平面 ${ABCF}$ ,推出 ${CD} \bot  {CA}$ ,即 $\angle {ACD}$ 为直角,所以 $\bigtriangleup {ACD}$ 是直角三角形. 这样几何体 $A - {BCD}$ 的四个面都是直角三角形,即它是一个“鳖臑”. (在上述过程中, “堑堵”截取“鳖臑”后余下的几何体是底面为矩形、一棱垂直于底面的四棱锥, 这样的几何体在《九章算术》中称为“阳马”)

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_68_1011_1334_403_269_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_68_1011_1334_403_269_0.jpg)

图 11-R3

2. 不一定是棱柱. 从棱柱的定义很容易推出棱柱的侧面都是平行四边形, 所以棱柱的定义条件强于本题所给的条件. 图 11-R4 给出两个反例, 其要领都是除了两个平行面的边以外, 多面体的其他棱还可能相交 (从而不符合棱柱的定义条件).

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_69_462_289_630_278_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_69_462_289_630_278_0.jpg)

图 11-R4

3.(1)截面是两个关于旋转轴对称的圆. 示意图略. (2)当截面离地面的高度大于 0 并小于游泳圈高度时, 截面两个同心圆组成圆环; 当截面离地面的高度等于 0 或等于游泳圈高度时,圆环收缩成一个圆；在其余情况,截面是空的. 示意图略.

习题 11.3

A 组

1. 12 条棱,8 个面. 表面积为 $\sqrt{3}$ ,体积为 $\frac{1}{6}$ .

2. ( 1 )即证 $\bigtriangleup  {EFG}$ 是正三角形, ${B}_{1}$ 在 $\bigtriangleup  {EFG}$ 平面的射影是 $\bigtriangleup  {EFG}$ 的中心. (2) $\frac{\sqrt{3}}{6}$ . (3)剩余的多面体有 12 个顶点、24 条棱、14 个面. 表面积为 $3 + \sqrt{3}$ ,体积 $\frac{5}{6}$ .

3. 表面积为 $8 + 8\sqrt{3}$ ,体积为 $\frac{{10}\sqrt{2}}{3}$ .

4. 表面积为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\pi$ ,体积为 $\frac{\pi }{2}$ .

B 组

1. ①③⑤⑦.

2. 设正三角形纸片的边长为 $a$ ,则剪拼的三棱锥的边长为 $\frac{a}{2},{V}_{\text{三棱锥 }} = \frac{\sqrt{2}}{12}{\left( \frac{a}{2}\right) }^{3} = \; \frac{\sqrt{2}}{96}{a}^{3}$ . 设三棱柱的高为 $h$ ,底面边长为 $x$ ,则 $\sqrt{3}h = \frac{a - x}{2}$ . 因为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2} = {3h} \cdot  \sqrt{3}h \Rightarrow  x = \; 2\sqrt{3}h \Rightarrow  x = \frac{a}{2}$ ,故 ${V}_{\text{三棱柱 }} = \frac{\sqrt{3}}{4}{\left( \frac{a}{2}\right) }^{2}\frac{a}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{64}{a}^{3}$ ,所以 ${V}_{\text{三棱锥 }} < {V}_{\text{三棱柱 }}$ .

#### 11.4 球

练习 $\mathbf{{11.4}}\left( 1\right)$

1. $d = \sqrt{{r}^{2} - {r}_{1}{}^{2}}$ .

2.13.

3. (1) ${1}^{ \circ  }{20}^{\prime }.\;\left( 2\right) {6371.004} \times  \left( {\sin {31}^{ \circ  }{53}^{\prime } - \sin {30}^{ \circ  }{40}^{\prime }}\right)  \approx  {115.626}\left( \mathrm{\;{km}}\right)$ .

练习 $\mathbf{{11.4}}\left( 2\right)$

1. ${510060000}{\mathrm{\;{km}}}^{2}$ .

2. $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}R$ .

3. $\frac{500}{3}\pi {\mathrm{{cm}}}^{3}$ .

习题 11.4

A 组

1. ${4\pi }$ .

2. ${40\pi }$ .

3. $\sqrt{2}$ .

4. 2 .

5. $\frac{9}{4}\pi$ .

B 组

1. $\frac{16\pi }{3}$ .

2. $\frac{13}{2}$ .

3. 1320.

4. ${2\pi }{R}^{2}$ .

### 复习题

A 组

1. A. 图略.

2.(1)正确. (2)错误. (3)错误. (4) 错误.

3. $\frac{\pi }{3}$ .

4. $1 : 3 : 5$ .

5. $\frac{5}{6}$ .

6. ${50\pi }$ .

7. ${S}_{\text{球 }} < {S}_{\text{圆柱 }} < {S}_{\text{正方体 }}$ .

8. $2 : 1$ .

9. $\sqrt{3}\mathrm{\;{cm}}$ .

B 组

1. 6 .

2. 4 : 9 .

3. 1 : 9.

4. ${16} - 5\sqrt{2}$ .

5. $\frac{1}{2}$ .

6. $3\sqrt[3]{2}\mathrm{\;{cm}}$ .

7. $3\sqrt{2}\mathrm{\;{cm}}$ .

8. (1) $2\sqrt{3}$ . (2) $\arccos \frac{2\sqrt{3}}{5}$ .

9. (1)先证 ${AF} \bot$ 平面 ${BDE}$ . (2) $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

10. ${S}_{\text{半球 }} = {27\pi },{V}_{\text{半球 }} = {18\pi }$ .

### 拓展与思考

1. $x = \frac{\sqrt{2}{rh}}{\sqrt{2}r + h}$ .

2. 不会溢出来.

3. (1) $a = \frac{\sqrt{1 + {h}^{2}}}{1 + {h}^{2}}, h > 0$ . (2)当 $h = 1$ 时, ${V}_{\max } = \frac{1}{6}{\mathrm{\;m}}^{3}$ .

4. (1) $S = {100} - {20x}\left( {x \in  \left( {0,5}\right) }\right)$ . (2) $V = \frac{4}{3}{\left( 5 - x\right) }^{2}\sqrt{{10x} - {x}^{2}}\left( {x \in  \left( {0,5}\right) }\right)$ .

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 龚昇. 从刘徽割圆谈起[M]. 北京: 科学出版社, 2002.

[2] 江泽涵. 多面形的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类[M]. 北京: 科学出版社,2002.